Hodge Number

释义 Definition

Hodge number（霍奇数）是复几何与代数几何中的不变量，通常记为 \(h^{p,q}\)。它表示在一个复流形（尤其是紧致Kähler流形或光滑射影代数簇）上，\((p,q)\)-型微分形式所对应的Dolbeault上同调群 \(H^{q}(X,\Omega^{p})\) 的维数。直观上，它衡量该空间在不同“复方向分解”下的上同调结构有多丰富。（在更一般情形下也可讨论，但最常见语境是Kähler/射影情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈhɒdʒ ˌnʌmbər/（英式常见）；/ˈhɑːdʒ ˌnʌmbɚ/（美式常见）

例句 Examples

The Hodge numbers of a complex torus can be computed explicitly.
复环面（complex torus）的霍奇数可以被显式计算出来。

For a smooth projective variety, the Hodge numbers \(h^{p,q}\) are encoded in the Hodge diamond and reflect deep constraints coming from Hodge decomposition and symmetry.
对一个光滑射影簇而言，霍奇数 \(h^{p,q}\) 体现在“霍奇菱形”中，并且反映了来自霍奇分解与对称性等深层约束。

词源 Etymology

Hodge来自英国数学家 W. V. D. Hodge（威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇）的姓氏。霍奇理论（Hodge theory）研究微分形式、调和形式与上同调之间的关系；“Hodge number”因此用来命名与该理论核心分解（如霍奇分解）相关的维数不变量。

相关词 Related Words

• Hodge Decomposition
• Hodge Theory
• Hodge Diamond
• Dolbeault Cohomology
• Betti Number
• de Rham Cohomology
• Kähler Manifold
• Harmonic Form

文学与著作中的用例 Literary Works

• W. V. D. Hodge, The Theory and Applications of Harmonic Integrals（经典来源之一，奠基性著作中讨论与霍奇理论相关的不变量）
• Phillip Griffiths & Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry（常以 \(h^{p,q}\) 讨论复几何/代数几何中的霍奇数与霍奇结构）
• Claire Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry（系统讲解霍奇理论，频繁使用“霍奇数”与 \(h^{p,q}\) 记号）
• Daniel Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction（入门教材中介绍霍奇分解与霍奇数的基本性质）